凸透镜成像公式
引入
我们在初二就学过凸透镜的成像规律：
| 物距 \(u\) | 倒正 | 大小 | 虚实 | 物侧 | 像距 \(v\) | 应用 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(u > 2f\) | 倒 | 缩小 | 实 | 异侧 | \(f < v < 2f\) | 照相机 |
| \(u = 2f\) | 倒 | 等大 | 实 | 异侧 | \(v = 2f\) | 测量焦距 |
| \(f < u < 2f\) | 倒 | 放大 | 实 | 异侧 | \(v > 2f\) | 投影仪 |
| \(u = f\)（不成像） | N/A | N/A | N/A | N/A | N/A | N/A |
| \(u < f\) | 正 | 放大 | 实 | 同侧 | 初中物理不考虑 | 放大镜 |
但是这个表格有点难记，怎么办呢？（我们的宗旨：物理应该是使用 \(CPU\)或者 \(GPU\) 而不是硬盘）
公式
所以我们在此介绍成像公式：
\[\frac{1}{u} + \frac{1}{v} = \frac{1}{f}\]
注意
此公式在初中范围内不要求掌握，更不要求推导，请注意！
这个公式将\(u,v\)的变化范围囊括其中。你可以尝试将 \(u,v\) 代入试试看，他完全正常工作。
并且我们也可以注意到，在成实像时，\(u,v\) 都是正数；反之为负数。
这个公式也可以解释为什么 \(u = f\) 是不成像的条件，因为此时 \(\dfrac{1}{v} = 0\)，这是不可能的。
至于放大缩小的问题，你只需要用我们的第二个公式（\(a \leftarrow b\)表示\(a\)增加\(b\)就减小，反过来也一样）：
\[v \leftarrow Size,u \rightarrow Size\]
这样就行了。
推导
（前置：初中数学：相似三角形）
先看图。
我们不难发现，\(\Delta A O B \sim \Delta D O E,\Delta C F_{2} O \sim \Delta D F_{2} E\)。通过这两个相似三角形，我们得出：
\[AB = OC, AB : DE = AO : OD,OC: DE = OF_{2} : F_{2}D\]
那么替换以下 \(AB,OC\)，得到\(AO : OD = OF_{2} : F_{2}D\)。那么在把这些繁琐的线段替换为 \(u,v,f\) 的形式，得到：
\[\frac{u}{v} = \frac{f}{v-f}\]
化简：
\[uv-uf = vf\]
\[uv=f \times (u+v)\]
\[\frac{uv}{u+v} = f\]
两边同时取倒数：
\[\frac{u+v}{uv} = \frac{1}{f}\]
那么最终得到这个公式：
\[\frac{1}{u} + \frac{1}{v} = \frac{1}{f}\]
大功告成！
扩展
此公式对凹透镜也适用。但是我们要把凹透镜看成一个 \(f < 0\) 的凸透镜。
俄罗斯套娃
这都是扩展内容了，还来了个扩展中的扩展（但其实凹透镜在透镜的那节课也是提到了一下的，所以也算初中物理）。