电功率图像问题

摘要

本文分为三个部分。分别是以电阻电压和电流为X轴，然后电功率为Y轴的图像问题。

本文所有图像问题均在一个定值电阻 \(R\) 和一个滑动变阻器 \(R_p\) 串联并且电压 \(U\) 不变的情况下进行。

我们假设电流为 \(I\)。则有如下推导：

\[P_{R_p} = P_{all} - P_{R} = UI - I^2R = -R \times I^2 + U \times I\]

因为电源电压不变以及定值电阻的电阻也不变，所以说 \(P_{R_p}\) 可以看作是关于 \(I\) 的一个二次函数。

它的图像如下。

我们可以通过对称轴求出它的最大值。

\[I = -\frac{b}{2a} = \frac{U}{2R} , \max = \frac{U^2}{4R}\]

也就是说当电路中的电流等于以上的这个数时，滑动变阻器的电功率最大。通过与上次的R-P图像的比较，我们发现这个推论是正确的。

由于二次函数的对称性，所以当两个情况的电流不同，但 \(P_{R_p}\) 是相等的情况下，这两种情况的电流之和应该是等于对称轴的两倍。这样的结论适用于多情况问题——能够更快地做出解答。

我们假设滑动变阻器两端的电压为 \(U_p\) ，则有如下推导。

\[P_{R_p} = U_pI = U_p \times \frac{U-U_p}{R} = \frac{U \times U_p - U_p^2}{R} = -\frac{1}{R} \times U_p^2 + \frac{U}{R}\times U_p\]

这是图像——还是geogebra。

经过推导，我们发现这也是一个二次函数，只不过是关于 \(U_p\) 的。同理，我们也可以通过对称轴求出它的最大值。

\[U_p = \frac{1}{2}U , \max = \frac{U^2}{4R}\]

同上。

暂缺。